【摘要】 伺服系統(tǒng)負(fù)載慣量比對(duì)快速響應(yīng)性，運(yùn)行穩(wěn)定性很重要。本文給出了伺服驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)常見傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的負(fù)載慣量計(jì)算方法及實(shí)際應(yīng)用案例。

【關(guān)鍵字】慣量計(jì)算、慣量比、伺服系統(tǒng)

0 引言

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(Moment of Inertia)是剛體繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)慣性（回轉(zhuǎn)物體保持其勻速圓周運(yùn)動(dòng)或靜止的特性）的量度，用字母I或J表示。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量在旋轉(zhuǎn)動(dòng)力學(xué)中的角色相當(dāng)于線性動(dòng)力學(xué)中的質(zhì)量，可形象地理解為一個(gè)物體對(duì)于旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的慣性。在負(fù)載加速和減速的過程中，慣量是一個(gè)非常重要的參數(shù)，因此在運(yùn)動(dòng)控制中需要非常熟練的掌握常用傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的慣量計(jì)算方法。

本文整理了各種常見機(jī)構(gòu)的慣量計(jì)算方法，給出兩種應(yīng)用案例中，睿馳伺服電機(jī)選型計(jì)算例題。

1 服驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)中，常見5種傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的負(fù)載慣量計(jì)算方法

1.1常見物體慣量計(jì)算

模型1、長(zhǎng)為L(zhǎng)的細(xì)棒，旋轉(zhuǎn)中心通過細(xì)棒的中心并與細(xì)棒垂直，如下圖所示。

在棒上離軸x處，取一長(zhǎng)度元dx，假設(shè)棒的質(zhì)量密度為λ，則長(zhǎng)度元的質(zhì)量為dm=λdx,根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)算公式: 

得到 

將 代入上式，得 

模型2、長(zhǎng)為L(zhǎng)的細(xì)棒，旋轉(zhuǎn)中心通過細(xì)棒的一端A并與細(xì)棒垂直，如下圖所示。

同理可得出

將 代入上式，得

模型3、半徑為R的質(zhì)量均勻的細(xì)圓環(huán)，質(zhì)量為m，旋轉(zhuǎn)中心通過圓心并與環(huán)面垂直。

取一長(zhǎng)度元dx，假設(shè)棒的質(zhì)量密度為λ，則長(zhǎng)度元的質(zhì)量為 ,根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)算公式:

得到

將 代入上式，得

模型4、質(zhì)量為m、半徑為R、厚度為h的圓盤或?qū)嵭膱A柱體，繞軸心轉(zhuǎn)動(dòng)。

取任意半徑為r，寬度為dr的薄圓環(huán)，設(shè)ρ為圓盤的密度，dm為薄圓環(huán)的質(zhì)量，則此圓環(huán)轉(zhuǎn)到的慣量為 ，將 代入

得

由 , 可得

按照此公式，直徑為D的圓柱體繞中心軸旋轉(zhuǎn)的慣量為：

，其中L為圓柱長(zhǎng)度， 為密度。

模型5、絲桿帶動(dòng)的負(fù)載慣量：

注：式中P_b為絲杠導(dǎo)程（螺距）

總結(jié)：模型1與模型2可以應(yīng)用于均勻的長(zhǎng)條形或棒狀負(fù)載結(jié)構(gòu)的慣量計(jì)算。

模型3則可以應(yīng)用于同步輪負(fù)載結(jié)構(gòu)的慣量計(jì)算。

模型4則可以應(yīng)用于絲桿本身慣量的計(jì)算或圓柱體結(jié)構(gòu)的慣量計(jì)算。

模型5則可以應(yīng)用于絲桿帶動(dòng)的負(fù)載慣量計(jì)算。

注：常見剛體慣量計(jì)算助記

1.2服驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)中，常見5種傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的負(fù)載慣量計(jì)算方法

在上述五種模型的基礎(chǔ)上，可以給出伺服驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)中，常見5種傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的負(fù)載慣量計(jì)算方法（絲桿機(jī)構(gòu)、同步帶輪機(jī)構(gòu)，齒輪齒條結(jié)構(gòu)、圓盤結(jié)構(gòu)、長(zhǎng)臂結(jié)構(gòu)）

A、 絲桿結(jié)構(gòu)：

絲桿慣量 

聯(lián)軸器慣量

絲桿上負(fù)載慣量

加速力矩

勻速力矩

總力矩 

B、 同步帶輪/齒條結(jié)構(gòu)：

負(fù)載慣量

皮帶慣量

同步輪/齒輪慣量

勻速力矩

加速力矩

總力矩

C、 轉(zhuǎn)盤結(jié)構(gòu)：

轉(zhuǎn)盤慣量

聯(lián)軸器慣量

加速力矩

長(zhǎng)臂結(jié)構(gòu)：

長(zhǎng)臂慣量

負(fù)載慣量 

加速力矩

2 計(jì)算選型舉例

睿馳公司的交流伺服電機(jī)一般有不同慣量的型號(hào)可供用戶選用，如60、80機(jī)座電機(jī)都有中慣量和小慣量?jī)煞N。下面通過兩個(gè)常見案例的負(fù)載慣量計(jì)算，合理電機(jī)選型，來說明減小慣量不匹配的方法。

2.1 絲桿結(jié)構(gòu)

已知：負(fù)載重量m=200kg，螺桿螺距 =20mm，螺桿直徑 =50mm，螺桿重量 =40kg，摩擦系數(shù)μ=0.002，機(jī)械效率η=0.9，負(fù)載移動(dòng)速度V=30m/min，全程移動(dòng)時(shí)間t=1.4s，加減速時(shí)間t1=t3=0.2s，靜止時(shí)間t4=0.3s。請(qǐng)選擇滿足負(fù)載需求的最小功率伺服電機(jī)。

解：1） 計(jì)算折算到電機(jī)軸上的負(fù)載慣量

重物折算到電機(jī)軸上的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

螺桿轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

總負(fù)載慣量 

2）計(jì)算電機(jī)轉(zhuǎn)速

電機(jī)所需轉(zhuǎn)速

3） 計(jì)算電機(jī)驅(qū)動(dòng)負(fù)載所需要的扭矩

克服摩擦力所需轉(zhuǎn)矩

重物加速時(shí)所需轉(zhuǎn)矩

螺桿加速時(shí)所需要轉(zhuǎn)矩

所需最大轉(zhuǎn)矩

選定電機(jī)方案：運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)總慣量為145.29 ，需要最大轉(zhuǎn)矩為12.686Nm。睿馳DB-M12025電機(jī)，額定轉(zhuǎn)速2500RPM，額定力矩12NM，轉(zhuǎn)子慣量29 ，負(fù)載慣量比=145/29≈5倍，符合要求。

2.2 同步輪結(jié)構(gòu)

已知：快速定位運(yùn)動(dòng)模型中，負(fù)載重量M=5kg，同步帶輪直徑D=60mm，D1=90mm，D2=30mm，負(fù)載與機(jī)臺(tái)摩擦系數(shù)μ=0.003，負(fù)載最高運(yùn)動(dòng)速度2m/s，負(fù)載從靜止加速到最高速度時(shí)間100ms，忽略各傳送帶輪重量，選擇伺服電機(jī)。

解：

1）計(jì)算折算到電機(jī)軸上的負(fù)載慣量

2）計(jì)算電機(jī)驅(qū)動(dòng)負(fù)載所需要的扭矩

克服摩擦力所需轉(zhuǎn)矩

加速時(shí)所需轉(zhuǎn)矩

3）所需轉(zhuǎn)矩

4）計(jì)算電機(jī)所需要轉(zhuǎn)速

選定電機(jī)方案：

由上述計(jì)算結(jié)果,可選擇睿馳伺服電機(jī)DB-M19030（額定轉(zhuǎn)矩1.9NM，額定轉(zhuǎn)速3000RPM，電機(jī)慣量0.6 ），慣量比為：5 / 0.6=8.3倍。

筆者在一些客戶現(xiàn)場(chǎng)發(fā)現(xiàn)， 有部分用戶選用了以下型號(hào)電機(jī)：ACM6004L2H（額定力矩1.27NM，峰值轉(zhuǎn)矩3.81NM，額定轉(zhuǎn)速3000RPM，電機(jī)慣量0.42 kg.cm^2）。如果選擇了此方案，系統(tǒng)慣量比為5/0.42=11.9倍，動(dòng)態(tài)響應(yīng)性能及定位完成時(shí)間都會(huì)比選擇ACM6006L2H伺服方案要差，合理的慣量比對(duì)整個(gè)運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能有很大的提升。

3 結(jié)論：

伺服驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)中，常見傳動(dòng)機(jī)構(gòu)有五種：絲桿機(jī)構(gòu)、同步帶輪機(jī)構(gòu)，齒輪齒條結(jié)構(gòu)、圓盤結(jié)構(gòu)、長(zhǎng)臂結(jié)構(gòu)。工程師宜熟練掌握各種機(jī)構(gòu)的負(fù)載慣量計(jì)算方法。在此基礎(chǔ)上，才能正確計(jì)算慣量比。要提高伺服系統(tǒng)的快速響應(yīng)特性，首先必須提高機(jī)械傳動(dòng)部件的諧振頻率，即提高機(jī)械傳動(dòng)部件的剛性和減小機(jī)械傳動(dòng)部件的慣量。其次通過增大阻尼壓低諧振峰值也能提高快速響應(yīng)特性創(chuàng)造條件。第三，如果負(fù)載慣量較大時(shí)，可以考慮采用減速機(jī)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)負(fù)載慣量與電機(jī)慣量之間的慣量比在合適范圍。在部分應(yīng)用案例中，也可以考慮選用慣量更大的電機(jī)，來滿足降低慣量比，提高加速性能和穩(wěn)定性的要求。最后，伺服驅(qū)動(dòng)控制算法很多新技術(shù)的成功應(yīng)用，也為伺服系統(tǒng)更高精度、高平穩(wěn)性運(yùn)行提供了可能。更詳細(xì)慣量比合理取值的論述，可參考睿馳公司文章《伺服電機(jī)負(fù)載慣量比的合理取值》。